有關教學的一些想法：思考&計算

一、思考 & 計算

1. 計算的核心精神，就是要排除思考

任何一種計算的步驟、格式、意義等等, 當然都是經過一代一代慎密的「思考」，去蕪存菁，截長補短，逐漸發展出來的；然後就把它當做一種技藝傳下去，希望後人遇到類似問題的時候可以依法炮製，再也不必從頭想起，更不必經歷前人的苦惱，也就是，再也不必慎密思考了。換言之, 計算，做為一種依序進行的單純操作，原本的目的就是在「節省」腦力。

有很長的一段時間，社會需要各種「算手」（據說克卜勒在天文台常常要動用一兩千人去計算，才能得出「等時間掃過等面積」這種星行定律）；而訓練「算手」的時候，絕對是技術導向的：這些技術操作員，通常不會知道，也不需要知道他們算的是什麼，以及為什麼那麼算。

然後時代就進入20世紀，就像工業革命讓工匠都失業一樣，在資訊革命的浪潮裡，機器取代人工，算手這一行當然也就被淘汰了；而計算機比起它所取代的算手，當然是更不做任何思考的。

2. 小孩為什麼要學計算？

這樣看來，現代人根本就不需要學計算，事實上，現在已經沒有人用筆做任何數字計算了。所以，從數學課裡把計算刪除，應該是完全合理的，事實上美國在七零年代確實實行過一陣子不計算的政策，那時候，從小學到大學，所有的學生身上都掛著一個計算器（約有一本字典那麼大，更小型的機器還沒有問世），就好像我們小時候上學都要帶著鉛筆盒或算盤一樣。

但人們很快就發現，就教育而言，這並不是一個好辦法，因為小孩一旦不做計算，很多數學的思考就無法進行；理論上，只要知道乘法是做什麼的，應該就可以用小計算機做應用問題，但實際上，小孩如果不花一定的時間「和乘法相處」，他就沒辦法知道是哪個數該乘哪個數—至於解題時必要的事先估算（這是反駁錯誤猜想不可或缺的程序）或式子的推演等等能力，更必須建立在「計算的道理」之上。

這就是事情吊詭之處：小孩必學計算，但目的並不在計算，而是在掌握計算的道理，並且「和計算好好相處」：一旦和計算處得好了，哪個數和哪個數該用哪種算法去算就變得很自然，實際的計算倒是真的可以交給小計算機。

二、和計算相處之道

1. 絕非相處之道

先來做反面列舉：反覆演練而不去想其中的道理，這一定會把計算給得罪了，因為除了作業和考試之外，你再也不會去計算。訓練成算得又快又精確，這會把自己給得罪了，因為這並不容易，也沒有什麼樂趣，而人的本性是不會去做沒有理由的事。

以為練習計算就是學數學，這會把計算和自己都得罪了，還順帶得罪了數學；這是為什麼大多數孩子都感到數學很困難，而又找不到出路的緣故。

2. 和跟人相處一樣

和計算相處，就和跟人相處一樣，首重了解，次重欣賞，再來就是相互溝通。

學計算的時候，首先就是要了解為什麼那樣算，還要拿另一種算法來對比，看看當初前人選擇這種算法有什麼好理由，換言之，應該適度地回顧一下這算法形成的過程（「適度」並不是意謂著去研究數學史）。

其次，小孩要能欣賞這個算法的精采之處；演算的時候，心裡要感到得意，想說：好加在，如果不知道可以這樣算那就慘了，算得半死也未必能算出來；而且，用了這個算法，竟然就解決了這樣那樣的問題，簡直是「神機妙算」極了。

最後一點比較難，就是要反覆思量，說這樣算真的就是我要的嗎？或者我心中另有丘壑是這個算法根本無法觸及的？這是深層的對計算的批判思考，我們可以把它看做是在自己的本心和計算的功能之間，做一些相互的溝通。

3. 好的相處讓人自在

除了自己會覺得自在之外，旁觀的人也能感覺到心安，當一個小孩好好地「做數學」的時候；他的面容應該安祥喜樂，不疾不徐，不慌不忙，不怕算錯了再改一改，也不擔心要在一定的時間裡算完。最重要的是，他是一面算，一面想，並用心品嚐這「算的味道」。