Q. 抽象符號：我家小孩的數字計算沒有問題，但是一遇到抽象的文字符號（例如：a+a×a=___個a？），就不知道要怎麼算了，該怎麼辦呢？ 首先，要請爸爸媽媽或老師先注意一下，孩子現在的年齡，是不是已經適合開始操作像「a、b、c、x、y」這樣的抽象符號？根據瑞士兒童心理學家皮亞傑的「認知發展理論」，要到11、12歲之後的孩子，才會逐步進入「形式運思階段」，也就是擁有能夠「超越親眼所見的事實，進一步運用假設性思考」的能力；而抽象符號，其實就是一種「假設性思考」。所以，如果孩子還未滿11歲，一般而言，都不該強求練習這類問題。 如果孩子已經步入國中階段，那麼如何引導孩子進入抽象思考的世界，就是一個很重要的課題了。父母或老師必須特別留意，不應該讓孩子用死背的方式、或是用「多做幾次就習慣了」這樣的方法來解決，反而應該更細緻地思考孩子不會的關鍵點，才能讓孩子真正體會「抽象符號」的涵義。 像「a+a×a會是幾個a」這類的問題，本來就很少有孩子能在第一次就回答出來；因為孩子根本搞不清楚，這一類的問題到底是在問什麼（或者，他不了解到底有什麼問的必要）。對他們來說，a本來就是不確定的數，不確定的數經過一大堆運算，得出來的答案當然還是一個不確定的數，既然都不確定，怎麼能算出一個答案？ 在我們自己的學習過程中，一定也曾有過類似的懷疑。比較幸運的人，可以藉由一次一次的摸索，最後了解了題目的用意，體會出回答此類問題的方法。但較為不幸的人，很可能就從此與數學之間劃下不可抹滅的界線，認為數學運算充滿無法理解、刻意刁難人的規則。面臨孩子如此重要的關卡，我們到底應該怎麼教呢？首先，建議爸爸媽媽或老師，可以帶孩子先從具體的數字練習：「5＋5×5」就是「 1個5加上5個5」，也就是「6個5」、「6＋6×6」就是「 1個6加上6個6」，也就是「7個6」、「7＋7×7」就是「 1個7加上7個7」，也就是「8個7」、…………………………………………「100＋100×100」就是「 1個100加上100個100」，也就是「101個100」、………………………………………… 先讓孩子對一道算式想傳達的意思比較有「感覺」，而不只覺得是看到表面上一堆數字和運算符號的堆砌；這對孩子接下來理解怎樣用抽象符號代替無限可能，會有很大的幫助。 第二步，我們可以讓孩子試著猜想：「『a＋a×a』，得出來的答案，到底會是幾個a呢？」有的孩子可能會回答：「不確定」、「無限多」，甚至有人會說「a個a」，或者「b個a」。 以上這些猜想，都是很珍貴的線索；每一個錯誤的回答中，總是包括一些重要且正確的訊息，應該好好加以鼓勵和發揮。例如：回答「無限多」的孩子，可能發現了，如果把題目代入實際的數字，可以一直列下去，怎麼列都列不完；而回答「b個a」的小孩，代表著他已經發覺了，答案總是與題目的a不同。 在猜想的過程中，我們要引導孩子思考一個關鍵的問題：「為什麼出這道題目的人，不用數字表示，卻用a來寫算式呢？會有怎樣的好處？」孩子一開始也許會回答：這都是數學家為了考大家、為難大家所出出來的題目。但再鼓勵孩子仔細想想，孩子就能想出「這樣寫，可以代表所有相同的數字題」的觀點。孩子會因此發現到，題目希望我們回答的這個答案，一定是要讓看到的人可以方便地套用任何數字，而不用每換一道算式就要重新計算一遍。如此一來，推出「a＋a×a=(a＋1)個a」這樣的表達方式，也就非常自然而且合理了。 陪孩子學數學，除了教孩子算法和計算的過程，最重要的，還是要把孩子的眼界提升到更高的層次。我們可以跟孩子分享下面一句話，作為孩子從「具體運思期」進入「形式運思期」的賀禮： 「『數學』，就是把世間各種紛紜的現象，用簡單的符號表達；而『學數學』，則是看到簡單的符號，就能在心中浮現紛紜的圖像。」
首先，要請爸爸媽媽或老師先注意一下，孩子現在的年齡，是不是已經適合開始操作像「a、b、c、x、y」這樣的抽象符號？根據瑞士兒童心理學家皮亞傑的「認知發展理論」，要到11、12歲之後的孩子，才會逐步進入「形式運思階段」，也就是擁有能夠「超越親眼所見的事實，進一步運用假設性思考」的能力；而抽象符號，其實就是一種「假設性思考」。所以，如果孩子還未滿11歲，一般而言，都不該強求練習這類問題。 如果孩子已經步入國中階段，那麼如何引導孩子進入抽象思考的世界，就是一個很重要的課題了。父母或老師必須特別留意，不應該讓孩子用死背的方式、或是用「多做幾次就習慣了」這樣的方法來解決，反而應該更細緻地思考孩子不會的關鍵點，才能讓孩子真正體會「抽象符號」的涵義。 像「a+a×a會是幾個a」這類的問題，本來就很少有孩子能在第一次就回答出來；因為孩子根本搞不清楚，這一類的問題到底是在問什麼（或者，他不了解到底有什麼問的必要）。對他們來說，a本來就是不確定的數，不確定的數經過一大堆運算，得出來的答案當然還是一個不確定的數，既然都不確定，怎麼能算出一個答案？ 在我們自己的學習過程中，一定也曾有過類似的懷疑。比較幸運的人，可以藉由一次一次的摸索，最後了解了題目的用意，體會出回答此類問題的方法。但較為不幸的人，很可能就從此與數學之間劃下不可抹滅的界線，認為數學運算充滿無法理解、刻意刁難人的規則。面臨孩子如此重要的關卡，我們到底應該怎麼教呢？首先，建議爸爸媽媽或老師，可以帶孩子先從具體的數字練習：「5＋5×5」就是「 1個5加上5個5」，也就是「6個5」、「6＋6×6」就是「 1個6加上6個6」，也就是「7個6」、「7＋7×7」就是「 1個7加上7個7」，也就是「8個7」、…………………………………………「100＋100×100」就是「 1個100加上100個100」，也就是「101個100」、………………………………………… 先讓孩子對一道算式想傳達的意思比較有「感覺」，而不只覺得是看到表面上一堆數字和運算符號的堆砌；這對孩子接下來理解怎樣用抽象符號代替無限可能，會有很大的幫助。 第二步，我們可以讓孩子試著猜想：「『a＋a×a』，得出來的答案，到底會是幾個a呢？」有的孩子可能會回答：「不確定」、「無限多」，甚至有人會說「a個a」，或者「b個a」。 以上這些猜想，都是很珍貴的線索；每一個錯誤的回答中，總是包括一些重要且正確的訊息，應該好好加以鼓勵和發揮。例如：回答「無限多」的孩子，可能發現了，如果把題目代入實際的數字，可以一直列下去，怎麼列都列不完；而回答「b個a」的小孩，代表著他已經發覺了，答案總是與題目的a不同。 在猜想的過程中，我們要引導孩子思考一個關鍵的問題：「為什麼出這道題目的人，不用數字表示，卻用a來寫算式呢？會有怎樣的好處？」孩子一開始也許會回答：這都是數學家為了考大家、為難大家所出出來的題目。但再鼓勵孩子仔細想想，孩子就能想出「這樣寫，可以代表所有相同的數字題」的觀點。孩子會因此發現到，題目希望我們回答的這個答案，一定是要讓看到的人可以方便地套用任何數字，而不用每換一道算式就要重新計算一遍。如此一來，推出「a＋a×a=(a＋1)個a」這樣的表達方式，也就非常自然而且合理了。 陪孩子學數學，除了教孩子算法和計算的過程，最重要的，還是要把孩子的眼界提升到更高的層次。我們可以跟孩子分享下面一句話，作為孩子從「具體運思期」進入「形式運思期」的賀禮： 「『數學』，就是把世間各種紛紜的現象，用簡單的符號表達；而『學數學』，則是看到簡單的符號，就能在心中浮現紛紜的圖像。」
