數學學什麼? 迎戰國中數學的三大法寶

August 2, 2016

因為上國中,所以得要銜接數學。這部分通常大家聽了都是點點頭,沒什麼疑問,甚至周遭朋友可能還以自己上了國中後,數學一落千丈的經驗掛保證:沒錯,數學不但該銜接,還「得」銜接,不然基礎一個不穩,接下來就是步步艱辛了。但是,為什麼一到了國中,數學就突然變成一個不可質疑的天險,彷彿躍過去的從此飛昇成龍,而沒躍過去的就只能當鯉魚,在池裡抱著證明題苦苦繞圈,甚至暗地裡埋怨自己沒有數學細胞。

 

話說回來,當大家左一句銜接右一句銜接時,這所謂的銜接,是銜接什麼呢?這些我想不通的問題,被數學想想國的教學長賴友堂解答了。他說,若要理解銜接,得先知道差異在哪: 「孩子從國小到國中有個比較大的差別是說,國中的數學老師通常是專科專任。但國中老師常常比國小老師更不能夠理解小孩的不會,專有名詞很容易就出來,這樣子很多小孩在上國中時很容易被嚇到。」 

 

賴友堂分析,一個人如果可以建立自己學習的能力跟圖像,就可以不用只依賴聽講的方式:「如果只依賴聽講,一方面很仰賴老師的能力,萬一老師講得太專門,太沒有去照顧到小孩,小孩就完全不知道怎麼辦。或者我們說國中數學本來就不是光聽就可以懂得,它需要想。」

 

聽起來有些道理,但我反問,難道國小的數學就不需要想嗎?

 

他頓了一頓:「因為國小題目單純,我們會感覺到很多小孩在學習的過程中,其實是比較屬於靠記得老師上課的解法。小孩有這個的印象,又做了足夠多的題目。至於題目跟算法的關聯是什麼?這在國小本來就比較少著墨,那國中因為題目變化這問題就被突顯。最主要是,國小的時候你光靠聽跟背是走得通的,國中的教材開始複雜、東西開始深,反覆練習的成效會變得很低,很多人會誤解這是不是國小基礎沒打好,但其實是習慣被養壞了。

 

聽到這裡,我點點頭,數學之所以需要被銜接的理由是明白了。但是銜接營裡的「迎戰國中數學的三大法寶」,又跟一般的銜接課程有什麼不同?有什麼自信可以銜接得上呢?

 

賴友堂解釋:第一招圖像思考,是希望小孩研究題目時可以把內容轉變為圖像去想:「好比百分比,一個東西打完七折多少錢請問原價是多少?打七折是很抽象的,很多人就會背,打七折乘上零點七,原價乘上零點七變售價,如果售價除零點七變原價。這是純粹靠背的方式,問題是這跟乘零點七有什麼關係?這東西很難想,但如果我用一個數線把錢標上去,那一目了然,就不用死記公式。這樣的圖像對小孩來講變成想事情有個依歸,因為當我們主張小孩要想的時候,小孩第一個問怎麼想?他們的想是:我去想老師有沒有教過這一題。小孩說:『我有想啊!誰做數學沒有想?我在想老師上次做這一題怎麼做的。』但我們的想不是這個意思,我們的想是從這題目的條件我要怎麼推理出答案,但是這很憑空,我們就提供一個畫圖的方法。我們實際教時會讓小孩發現,即便是國中會考的題目,他們三年後才會遇到的題目,會考中心提供的答案是要解X的,而且數字很難看喔,把圖一畫,眼睛就可以看出答案,就可以看出算法。讓小孩知道說如果我們能夠把題目反應到圖形之後,我們的腦袋就比較不容易只是背公式。」

 

第二招虛擬實境,其實也是類似的意思,賴友堂分析:「現在題目越來越長,但這是合理的,數學本來就該跟現實生活做一點結合,你現在去看會考國中題目,有些是很長的,題目很長、小孩做數學又慌張,他一時之間就搞不清楚條件是什麼,可是你把題目弄清楚在講什麼,通常就知道答案。就是你需要自己進入想像的情境,所以我們給小孩第二個法寶是他要練習想清楚,這樣他投射在裡面對事情有感覺,比較不會只抓到片段的資訊。」

 

他舉了一個九五年基測時的漱口水問題,說明小孩之所以會搞錯,往往是因為漱口水瓶跟瓶蓋兩個單位在題目中交錯出現而被混淆了,因為他們對題目勾勒出的景象是模糊的、甚至是沒有想過的。但如果能想像其中的情境,其實題目本身並不是很複雜的數學問題。最後一個法寶|自我覺察,聽起來就有些模糊了,這裡的覺察是要覺察什麼呢?

 

他舉了一個常見的速率問題:「上山速率是每小時兩公里,下山每小時六公里,問平均速率是多少?有小孩很認真,可以背出正確的做法,但我們所謂自我覺察的部分是你要想像為什麼不能光用直覺去做?一個人只會正確的做法沒有用,他就算知道要用『上山花六小時下山花兩小時,總路線除以總時間』來解這問題,但為什麼大費周折?為什麼不能二加六除以二,這是要被釐清的,不能說只教對的事情而沒有教為什麼加總平均的作法不能用。這是需要自己提升敏感的,有疑問,他比較會問,而不是傻傻地記,這樣才真正的學會數學,自我覺察是指這個。」

 

(圖片來源 / Flickr Creative Common    圖片作者 / Jack-Benny Persson)

 

 

聽到這裡,我才感覺到為何有人說數學是批判思考的起點,因為剛才提供的這些學習方式,都是在嘗試著讓小孩能夠藉由數學這門科目去鍛鍊、檢驗自己的直覺和想法。聽我這麼一說,賴友堂笑笑:「為什麼全世界都要學數學?都沒有把數學從主科裡除名或變成選修?第一個道理是,數學是學習思考、練習思考一個很好的學科,原因是因為它最單純,對錯是分明的。第二個是數學可以訓練人不信邪,因為數學有個特色是,不是誰說了算。事情對就是對錯就是錯,我管你是什麼大師,你證明證錯了啊、通分通錯了啊,這誰來一樣,所以比較可以去學習不畏懼權威。所以這個科目訓練思考、訓練批判,思考是因為它單純,批判是因為它沒有什麼權威

 

所以在銜接營,我們不可避免還是要跟國中生談到底為什麼要學數學,因為到國小還可以說加加減減四則運算乃國民生活之必須。那現在國中生問你學根號五要幹嘛?我們總不能永遠呼攏小孩子吧?解 要幹嘛?出了社會你到底什麼時候要解 X ?所以我們還是要認真的去跟小孩談到底為什麼要學數學。」

 

我點點頭:「就像剛剛提到的圖像思考,我覺得有個意義是讓人不要那麼快去相信公式。公式有點像是個沒有實體的權威,但我們又常常太快就進入套公式的思維,卻又容易套錯,是因為並不瞭解數字的涵義。」

 

賴友堂說:「數學就是有個好處是你一定會套錯,套錯就表示你一定有地方沒想清楚,你要去追尋這個沒想清楚的過程,就是學數學的竅門。所以我們非常反對反覆練習,你一個人太過反覆練習,你就會喪失這個學數學的好處。你要想到底為什麼不能。到底為什麼不能才是這題目的價值。」

 

我一拍大腿:「那這樣聽起來,數學還挺不錯的嘛!」

他聞言,咧嘴一笑:「當然不錯啊!」

 

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