Q. 抽象符號:我家小孩的數字計算沒有問題,但是一遇到抽象的文字符號(例如:a+a×a=___個a?),就不知道要怎麼算了,該怎麼辦呢?


首先,要請爸爸媽媽或老師先注意一下,孩子現在的年齡,是不是已經適合開始操作像「a、b、c、x、y」這樣的抽象符號?根據瑞士兒童心理學家皮亞傑的「認知發展理論」,要到11、12歲之後的孩子,才會逐步進入「形式運思階段」,也就是擁有能夠「超越親眼所見的事實,進一步運用假設性思考」的能力;而抽象符號,其實就是一種「假設性思考」。所以,如果孩子還未滿11歲,一般而言,都不該強求練習這類問題。


如果孩子已經步入國中階段,那麼如何引導孩子進入抽象思考的世界,就是一個很重要的課題了。父母或老師必須特別留意,不應該讓孩子用死背的方式、或是用「多做幾次就習慣了」這樣的方法來解決,反而應該更細緻地思考孩子不會的關鍵點,才能讓孩子真正體會「抽象符號」的涵義。


像「a+a×a會是幾個a」這類的問題,本來就很少有孩子能在第一次就回答出來;因為孩子根本搞不清楚,這一類的問題到底是在問什麼(或者,他不了解到底有什麼問的必要)。對他們來說,a本來就是不確定的數,不確定的數經過一大堆運算,得出來的答案當然還是一個不確定的數,既然都不確定,怎麼能算出一個答案?


在我們自己的學習過程中,一定也曾有過類似的懷疑。比較幸運的人,可以藉由一次一次的摸索,最後了解了題目的用意,體會出回答此類問題的方法。但較為不幸的人,很可能就從此與數學之間劃下不可抹滅的界線,認為數學運算充滿無法理解、刻意刁難人的規則。


面臨孩子如此重要的關卡,我們到底應該怎麼教呢?

首先,建議爸爸媽媽或老師,可以帶孩子先從具體的數字練習:


「5+5×5」就是「 1個5加上5個5」,也就是「6個5」、

「6+6×6」就是「 1個6加上6個6」,也就是「7個6」、

「7+7×7」就是「 1個7加上7個7」,也就是「8個7」、

…………………………………………

「100+100×100」就是「 1個100加上100個100」,也就是「101個100」、

…………………………………………


先讓孩子對一道算式想傳達的意思比較有「感覺」,而不只覺得是看到表面上一堆數字和運算符號的堆砌;這對孩子接下來理解怎樣用抽象符號代替無限可能,會有很大的幫助。


第二步,我們可以讓孩子試著猜想:「『a+a×a』,得出來的答案,到底會是幾個a呢?」有的孩子可能會回答:「不確定」、「無限多」,甚至有人會說「a個a」,或者「b個a」。


以上這些猜想,都是很珍貴的線索;每一個錯誤的回答中,總是包括一些重要且正確的訊息,應該好好加以鼓勵和發揮。例如:回答「無限多」的孩子,可能發現了,如果把題目代入實際的數字,可以一直列下去,怎麼列都列不完;而回答「b個a」的小孩,代表著他已經發覺了,答案總是與題目的a不同。


在猜想的過程中,我們要引導孩子思考一個關鍵的問題:「為什麼出這道題目的人,不用數字表示,卻用a來寫算式呢?會有怎樣的好處?」孩子一開始也許會回答:這都是數學家為了考大家、為難大家所出出來的題目。但再鼓勵孩子仔細想想,孩子就能想出「這樣寫,可以代表所有相同的數字題」的觀點。孩子會因此發現到,題目希望我們回答的這個答案,一定是要讓看到的人可以方便地套用任何數字,而不用每換一道算式就要重新計算一遍。如此一來,推出「a+a×a=(a+1)個a」這樣的表達方式,也就非常自然而且合理了。


陪孩子學數學,除了教孩子算法和計算的過程,最重要的,還是要把孩子的眼界提升到更高的層次。我們可以跟孩子分享下面一句話,作為孩子從「具體運思期」進入「形式運思期」的賀禮:


「『數學』,就是把世間各種紛紜的現象,用簡單的符號表達;而『學數學』,則是看到簡單的符號,就能在心中浮現紛紜的圖像。」








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