數學中的異化

January 26, 2018

從某個時候以來,我總覺得小孩學的,並不是「自己的數學」;那麼學校教的,又是什麼數學呢?無以名之,權且就稱之為「他們的數學」吧?

 

這樣說會讓人覺得奇怪,好像是刻意劃分你我、製造對立;但請大家想一下,如果聽到有人說「走得腿都不像自己的了」,或說「這假牙雖然好用,但畢竟不是自己的」,您是能體會他那「格格不入」的感覺呢?還是責怪他「個性不好」?

 

是的,一般人學數學,總是多少有那麼一點格格不入的感覺;若是逼他一定說出個所以然嘛,他又說不太上來--總之,或者,就是,有那麼一點「異物感」,好像鞋子裡有個小石頭,或是眼睛裡進了小飛蟲,不然就套個「如梗在喉」的成語也行;總而言之,就不是身上應該有的東西,或者說,雖然是自己的身子,但已經被強加了不屬於自己的東西。

 

這並不是在說俏皮話兒,或繞口令兒,而是予豈好「喻」哉,予不得己也;因為直接說不清楚,不得不透過以上那些比喻,讓大家感同身受一下小孩的現在,或自己的從前,淪落在「他們的數學」之中的那一番難以言傳的滋味。然而,這並無助於解釋「自己的數學」到底是什麼,畢竟人們從小到大從來不曾見過這種東西;也無法讓大家相信,如果真的是「自己的數學」,就能讓人舉手投足,瀟灑自如

 

所以怎麼辦呢?萬不得已的辦法,也就只能是舉例說明了:予豈好「例」哉,予不得已也。以下要舉的例子,請大家原諒,要稍稍有一點難度;因為,否則很難達到說明的目的,或者又會被解釋是在提倡什麼「生活化」。

 

例如,教到「共軛(conjugate)複數」,課本就只會下定義,說a+bi 的共軛就是a-bi,然後不斷強調a和b必須是實數;但對任何「正常人」來說,這都是天外飛來一筆。他理當心中有個os:「就只因為長得很像,或只差個負號,就硬把兩個拉在一起嗎?那為什麼不說1+ 2/3 和1- 2/3 是『共軛』帶分數?」不過,在現實上,能這樣提問的學生非常之少,因為學「他們的數學」到高中,整個人已經失去「正常」的反應了;至於老師,更無法想像世間還有這種問題,總以為照課本「下定義」本來就是他的專利:當上老師的先決條件就是充分地被「他們的數學」異化,被「異物所同化」--「異化」這個社會科學的專有名詞用在這兒,還真是意外地恰當!

 

所謂「異物」,也就是上述的「天外一筆」,之所以「不是自己」的,或很難變成自己的,主要就是因為整個教學的過程,是以「去脈絡化」的方式把一個名詞硬塞給學生,然後叫他做許多「不知為何而戰」的題目。正是因為把「前因後果,來龍去脈」都拿掉,只講那兩個數「外在的樣子」,不談它們「真正的身份」;結果就是讓人摸不著頭腦,抓不到要義,只能在別人的指揮下忙來忙去,以至於失去自己的面目,找不到自己的手足,和自己產生巨大的「疏離」--這正是生產線上的工人被整個資本結構「異化」的寫照。

 

那麼,如果是「自己的數學」,會是怎樣的呢?首先要講的,是所謂「軛」到底是指何而言,而所謂「共」軛,到底是怎麼個共法?這事的實情,也就是「真正」的數學內涵(姑不論自己還是他們,只就數學論數學),是這樣的:複數或虛數這種東西,原本在實數中是沒有的;那它們怎麼跑出來的呢?是因為要解「實數係數方程式」,正如當初因為解X2=-1 這個方程式而創造出虛數i。然而,有趣的地方就這兒:一旦有了i這個根,-i自然也就是根了,因為X右上角的那個平方,會吃掉負號;而a+bi的情況也類似:它也滿足一個實係數二次式,而那個二次式也有另外一根,恰恰好就是a-bi(這很容易證明)。

 

換言之,a-bi是被a+bi「帶」出來的,因為它們滿足同一個「實係數二次式」;解這個二次式,就會同時解出它們兩個。這個事實,是建立在它們的「來歷」(即解方程式)之上的,因而是它們的真實的身份的不可分割的重要部份,絕不應該像通行教科書那樣略去不講。這樣一個精采的「實情」,理當有個「形象的」描述,數學家就說它們是「共負一軛」(註):「軛」就指的是同時解出它們兩個的那個二次式,而「共」當然就指「同時存在」這個只要有眼睛就無法看不到的真相!

 

 

「自己的數學」要講的還不止此:這個詞其實是出自聖經,「信與不信的,不可同負一軛」(哥林多後書);這明確地提示我們,表面上看是在講「同」,但重點其實是在另一面,或反面,即「不可被拆開(而和不信的在一起)」,也就是反對「異」。講到這裡,學生「理當」會問:複數的共軛也有這個「重點」嗎?如果複數的共軛沒有這種「不可拆開」的反面的意涵,那麼,動用這麼「沉重」的一個詞彙,只是要說它們「共享同一個方程式」,不顯得太過賣弄、太過誇張、故意聳人聽聞嗎?

 

這樣,就可以講到「共軛」這個概念之所以值得一論的原故了,也就是那個重要的定理:「實係數多項式,如果有某複數為根,則它的共軛複數,也必然是根」,也就是「共軛複數必成對出現(在實係數多項式的根之中)」;換言之,就做為實係數多項式的根而言,相互共軛的複數,是不會被拆散的!如果順著以上的脈絡,這個定理的證明會變得很簡短,很自然,很容易理解;同樣的方法還可以證明,例如 ,√2±√3 、 -√2±√3 這四個無理數,因為「共」一個有理係數多項式為「軛」(如上圖),所以會同時出現在任何有理係數方程式的根之中:任何有理係數多項式,若其一為根,另外三個也必然是根;它們就是這樣「共軛」的!對照之下,通行教科書上的證明就太繁複,太機械,太刻意,難怪多數學生只能死記結論,而無法產生「本來就該這樣」的共鳴!

 

以上概述的「自己的數學」,其實正是「數學家的數學」:數學家所研究的數學,或在數學上的研究,當然是有血有肉的,貼近人的感覺與意識的,緊扣著某個有意義的問題的,而絕不會是沒事找事幹,讓自己投身在「不知道要幹什麼」的事情上,或吞下「不知道是什麼」的異物;所以,數學家的數學,當然是「自己的數學」,又因為數學家是人,正常的人,有血有肉的人,所以和我們的「自己的數學」一定有相連的通道,而不會變成「他們的數學」。當然,數學家一定比我們想得更深,見得更遠,在數學上;但也正因為如此,我們要學他的「自己的數學」,來建構我們的「自己的數學」,就可以開拓自己的思想,健全自己的頭腦,強壯自己精神。也正是為著這樣的理由,而不是為了生活上的應用,或取得某種有價的文憑,數學才是全世界青年人必修的科目。

 

奇怪的是,通行的教科書,以及隨之而來的數學教育,完全不走這條路線;講「質數」的時候,只會重複「除1和自身外沒有其它因數」這種拗口的符咒,或強調「1不是質數」這種無意義的教條,完全不從「因數分解」的脈絡上去解釋:「質數」無非就是分解到無法再分解的那種數--這是在做任何分解的工作的時候,一分再分之餘,最後勢不可免的一種「邂逅」。

 

他們不但背棄了青年人的需求,也背叛了數學本身做為文明瑰寶的那個典範。事情為什麼會變成這樣?有一種可能是,弄數學教育的人,根本不做數學,或者不是「做數學」的那種數學家;或者他們也做數學,但要對青年人講學的時候,就把真正的數學收起來,又回到他自己小時候在「他們的數學」中力爭上游的情境中去,認為憑什麼你們不必像我當年那樣吃得苦中苦?

 

他們,正是被「他們的數學」異化的結果!

 

(有關共軛的進一步討論及定理証明等等,請參見下方QR code)

 

註:

conjugate(共軛)這個字來自於拉丁文coniugare:con- [com-] ---共;iugare [to join]--- [from jugum, 即yoke(軛)]       

Please reload

最新文章

November 1, 2019

Please reload

月份
Please reload

文章類別
Please reload