教師錦囊~兩步驟幫助學生掌握短除法

December 7, 2017

 

 

「短除法」是六年級會教的一種重要的計算方法。它可以協助我們做某數的「質因數分解」;也可以簡便地找出幾個數字的「最小公倍數」與「最大公因數」。但是,很多孩子對於短除法的計算原理不甚理解,甚至畏懼這種比較繁瑣的計算,身為教育工作者,該怎麼調整教學以便協助孩子面對這個問題呢?

 

一、說明道理並做心理建設

 

很多孩子無法掌握短除法的計算,常見的原因是:教學的時候只示範了怎麼算,就請小孩練習,卻沒有去比較和正規直式除法的差異,以及分析是什麼地方變難了。既然叫做「短」除法,一定是省略了直式除法的某些程序,相對的就會增加一些難度,如果老師能開門見山地挑明是哪裡變難了,是哪一部分變成用心算,便可以讓學生心裡有所準備,學生一旦知道需要加強注意什麼,就比較可以放心。   

 

 

 

以[圖一]中的短除法為例:它第一步就是「54÷2」,和正規的直式除法(長除法)[圖二]去比較,除了有上下顛倒的感覺,最重要的是把本來的「減法」、「結合下一位再估商」這些過程省略不寫,但算的時候仍然要算,於是等於變成要心算,這就是難度增加的地方

 

 

 

好好的除法為什麼要這樣顛倒寫呢?其實是因為要分解54就得連續計算很多個除法,算好第一個商就得再把它拿來做除法,直到無法再分解為止,然後又要將這些分解的過程結合在一起才能一目瞭然,於是就會長得像[圖一]了。而且為了配合我們由上往下寫的習慣,就把原本直式除法顛倒,將商放在被除數的下方。 因此,要讓孩子明白短除法這個格式的理由,以及他所面對的挑戰是什麼,孩子自然願意練習,慢慢也就能學會這種運算方式。

 

二、帶孩子圖像思考

 

在一般教科書裡,教完短除法怎麼做之後,就把短除法運用到計算「最大公因數」和「最小公倍數」。課本會說把兩數作質因數分解,然後求出最大公因數跟最小公倍數,兩數的質因數分解是用短除法合併來做的,只要找出共同可以除盡的乘積就是最小公倍數,其具體操作如下:  

 

 「最大公因數」就是圖三左邊的2×2,最小公倍數如圖三所示就是60,但是到底為什麽可以這樣計算?只靠質因數分解的因倍數關係去說明,其實小孩是沒有感覺的。我們需要從根本的意義著手,帶領孩子去感受什麼是最大公因數?什麼是最小公倍數?

 

原本12和20的最小公倍數是指「12的倍數和20的倍數中,共同最小的倍數」。可是為什麼短除法這樣除一除、乘一乘就可以找到答案呢?孩子需要一個容易讓他用眼睛就「看出來」公倍數的方法。  

 

我們可以帶孩子畫出像圖四那樣的數線來找12和20的最小公倍數。最小公倍數的意義就是把12跟20照圖四那樣一格一格分別畫下去,第一次會「相遇」的那個位置的數字,也就是60

 

 

 

最小公倍數是找到了,但跟短除法的格式看起來沒有關係啊?要找到關係,就要先帶孩子專注研究這兩條數線的第一個倍數12和20,這兩個數有沒有公因數呢?稍加討論就會發現4是兩數的最大公因數,因此若用「4小格當成1大格」,這樣就可以用「3大格」和「5大格」來描繪12跟20這兩個數字的位置如圖五。  

 

 

這麼一來,問題就會變成3和5的最小公倍數是多少?也就是問這兩數何時會第一次「相遇」?因為3和5是互質的,因此相遇的位置就是「3×5大格」,既然1個大格是4個小格,因此要再將大格改回小格,算式當然就是4x3x5,這就是最小公倍數算式的由來,而原來短除法中左側的除數就是找大格的過程,下面的3和5就是把12和20看成3大格和5大格,這下子2 × 2 x 3 x 5 為什麼可以算出最小公倍數就一目瞭然了。

 

 

要讓學生掌握短除法,就需要讓學生知道自己究竟在算什麼?而給予短除法中那些數值具體的圖像意義,絕對是幫助學生的大大助力!

 

 

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