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請問教學長~為什麼分數題答錯率這麼高?


Q:

 我是一個國小老師,近期全市學力測驗有一題數學的測驗結果令我驚訝,題目如下,這一題答對(答案④)的學生,全市只有40%,其中高分組學生也不是百分之百都答對,而錯誤的答案中選擇答案②的,低分組學生佔60%,高分組學生佔17%;我的學生中就有很多選擇答案②的,很想知道學生到底發生什麼事?平時成績似乎不見得反應在學力上?我怎樣在教學上幫上孩子們的忙?還請教學長不吝賜教。


A:

 這個問題是老師關心學生,我必須充分回答,因為關心老師。


1. 題目的問題

 讓我們來想一想:一句話配上一幅圖,這道三年級的測驗題,小孩看得懂題意嗎?

 問題不在字數的多寡。像「XX佔全部的幾分之幾」這樣的句子,「全部」二字是關鍵,但是很少小孩能明白:談到「幾分之幾」的時候,前面為什麼要加上「全部的」?

 追本溯源,問題出在課本教分數的方法,它從不曾認真教小孩「學說話」。因為不瞭解整句話,小孩只能抓取「著色部分...幾分之幾」這些字眼,跳過不懂的地方。如果是一般的情況,雖然含混,也就應付過去了。現在遇到這陷阱,他的眼光被左上和右下那2個方塊吸引,又沒有理由去注意右上和左下的空白(他不清楚,所謂「全部」要衡量的範圍是哪裡)──

 他可能就這樣想:既然1個方塊被分成2份 

,這方塊裡塗顏色的這份是1/2,另一個方塊裡有同樣的1/2,合起來就是2/2──因此選擇答案①。

 他還可能這樣想:1/2加1/2變成2/4(把分母也加起來,這是常見的錯誤)。或者可能這樣想:兩個方塊總共被切成4份,裡頭有2份塗色,所以是2/4──因此選擇答案②。


2. 問題的彌補

 總之,選擇①②的小孩只注意到兩個吸睛的小方塊,不知道要比較的範圍是整個大正方形。其實這並不奇怪,如果換個情境來體會:假想你的家人下達指令:「全部的蘋果要『拿一半』送給鄰居!」結果,你只包走桌上的一半,沒察覺地上還有個箱子,裡面有很多蘋果;這時家人責怪:「我明明有講『全部』啊,怎麼沒注意!」你大概會反駁:「幹嘛不講清楚箱子裡還有,要和桌上的合起來算」──對吧?

 所以,題目的出法應避免含糊,至少要這樣修改:先出示未做任何分割的大正方形,聲明那是「全部」的範圍;再提出目前的圖示,說明是經過分割塗色,要問「塗上顏色的部分」是「全部」的幾分之幾?(至於要不要改得更好,添上實際的情境?這是另一個議題,在此就不細說。)


3. 治根本要建立語感

 不過,我們都知道,改變考題並不能解除小孩「看不懂句型」的病根,這時候就需要服用「想想藥方」了,它專治「語感不足,概念有缺」的症頭。

 在三年級〈數學想想〉的「幾分之一」這單元,先以最簡單的1/2為例,從各方面帶小孩掌握與分數有關的語言。首先,小孩必須瞭解,「二分之一」若斷句讀做「二分、之一」,它代表兩步驟的動作,如下圖:

也就是「平分成二份、拿出其中一份」。而在「二分之一」這幾個字裡,「之」是生字,需稍加解釋;若照字面翻譯,「二分  一」就對上「二份中  一份」。

既然「1/2」指出分與拿的動作,我們自然會想,到底是要分什麼呢?當然,任何數量都可以拿來「二分」;因此,將具體的例子做成如下的表格,我們帶小孩體會:

 ‧分的對象稱為「全部」,那是會改變的項目,數量可以任意指定;

 ‧以同樣的「動作」拿出1/2,所拿的「部分」會隨著全部而改變,所以要說是「全部的1/2」;

 ‧大家用一句話來說明「全部-動作-部分」這整件事。例如,聽到前半句「4個的1/2」(全部有4個,以及該怎麼分、怎麼拿),本來也就能掌握結果,只不過別人會問:「拿出來的有幾個啊?」所以,再補充後半句,形成一個完整的說法,就說「4個的1/2是2個」。


4. 在情境中體會語言的細膩

掌握了標準說法,接下來,我們邀請小孩想一想:1/2和1/2條,有什麼不同?這樣的「一字之差」出現在熊與貓的對話中(如下圖),他們各自想吃什麼?小孩很容易自己發現:說「1/2」的時候,心中已認定了全部的範圍;「說「1/2條」的時候,想的是「一條的1/2」!


這段教學的內容,再次凸顯「全部」在分數表達裡的重要。有趣的是,有時候竟然不明說,正如熊只講了「我要吃掉1/2」,旁人卻可以揣摩得知:他眼前的那些魚是所關心的全部的範圍。這種不靠言說、彼此領會的情形,是生活溝通的常態;數學上的溝通,當然也不例外。

經過上述仔細的分析,小孩瞭解關於分數的種種說法之後,老師才去更改分數值,從1/2改成1/3、1/4...等等,這時候他們多能舉一反三。


5. 想知道拿出的是幾分之一

最後,我們帶小孩研究標準說法的「疑問句」,從「6個的1/3是幾個」進展到「2個是6個的幾分之一」這類較難的問題(所求項目設定在分數上)。在問句裡的數量,也可以換成圖形,例如一段路線、一個圓餅、或一塊方形的地等等;對小孩來說,圖形問題可能更容易衡量。不過,這段教學的細節,除了語感之外,還有要怎麼衡量出幾分之一,在此我就不加詳述,要請你參看〈數學想想〉了。

 至於那說法裡的「是」字改成「佔」,它跟「佔位子、佔領」裡的「佔」是同樣的意思,這就要請老師跟小孩稍加解釋了。

6. 錯了很高興

 回到原來的考題上,我認為要經過前述第3項至第5項的思索,小孩才能真懂得題目的句型。以這個標準來說,答對的小孩只是比較會考試:他們做過一些類似題,甚至知道「圖形沒有等分」是老師喜歡布置的陷阱,所以會特別小心,注意到那兩個空白的方塊也要斜切。

我們主張數學要多想想,在想想的精神裡,最重要的是「錯了,要很高興!」因為,錯是對的開始,錯了以後我們才會真正的對(而不是恰好矇對)。這不只用來鼓勵小孩,也適用於老師;正因為小孩答錯了,我們注意到課本的盲點,發覺在哪裡教錯了(沒教對),這樣就可以超越它,提升我們的教學,當然會-很-高-興-囉!!

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