讓它去算,讓我來想~你能用小計算機算出餘數嗎?

June 19, 2019

數學想想五下第二冊親子手冊摘錄

 

 

 

數學想想五年級這一課,觸及的幾個議題,在數學教育上都是很重要的;現在,就讓我們來談談其中的要旨:


一、加減乘除的演算,要精熟到什麼程度?


我們的主張有二:一是不必要求算得很快,只要確保能算得對,即使步步為營、每一步都深思熟慮也無妨;二是不必要求算很大的數字,最多乘以、或除以三位數就可以了——遇到必須算得很快,或算大數字的場合,學生應該能夠順利地運用掌上型小計算器,就像今天每一個成人都會做的那樣。


僅僅就在幾十年前,數字的計算還是一項重要的技能:除了一般人都必須相當精熟筆算,以應付日常生活所需;特殊行業的人,還必須能珠算,以便掌握更大數字,或更大量的計算。但是,時代的進步非常之快,常常快到讓「教育家」 —— 他們的特長就是教導過去的東西 —— 跟不上的地步。在今天這個「資訊時代」,掌上型小計算器隨處可得,到底還有誰會用到筆算呢?筆算已經是一項「過時」的技藝,就像騎馬射箭一樣 —— 如果為了「禮樂射御書數」這個偉大傳統,現在還要每個學生都「精熟」騎射,那不是世界級的笑話嗎?
 

提起偉大傳統,並不是無的放矢:僅僅就在不多久之前,教育家還堅持叫學生用毛筆寫字,說那是固有文化呢!對照之下,現在小計算器在學校遇到的阻力,就和當年的原子筆一樣 ——任何一項新事物要想進入學校,都比登天還難!
如果人們能對教育也來「想想」,就像我們的小孩在數學上想想那樣,大家應該都會同意,別再拿演算的「精熟」來煩小孩了吧!

 


二、為什麼不完全放棄筆算?


筆算有一個機器無法取代的價值,就是「估計」。所謂估計,是這樣一種心智活動:先在心裡記得某些簡單的計算結果,例如「三七廿一」,然後在一個較複雜的情況裡,很容易就可以得到一個大概的、雖不精確卻已足用的答案,例如「三百多乘以七百多,大概會是二十多萬」。學會筆算的人,只要稍加練習,通常都能順利地做出估計;反之,如果連最基本的演算都得靠計算器,那就完全失去了「數量感」——而數量感的缺乏,在很多情況下會影響到對某個問題的思考,這是心智能力的極大損傷。


也正是由於以上的考慮,小孩不但應該會背九九乘法表,也應該熟練一位數的加減;只不過,如果我們明白演算速度不是最終的目標,就可以給小孩多一點的時間練習,而不必急在某個階段上一定要達到某個標準,只要他在長大以前,或小學唸完之前,能有一個一般的表現就可以了。


另外,乘和除,或分數的筆算,還有另外的價值,就是,這些算法的道理或來歷,都是極為重要的文明發展累積的成就;如果我們希望培養一個文明人,一個有能力傳承文明的人,這個人最好從小就能體會他的祖輩們的聰明才智——我們也教給小孩文字、音樂、美術、乃至處理人際關係等等的能力,這些都是文明的承傳。


把筆算放在這樣一個思考的脈絡裡,我們就可以很清楚地做出這樣一種分際:教給小孩的筆算,是重在那個算法,那個算法中的思想的層面,而不在其實際的應用——實際應用的時候,即使只是兩位數乘兩位數,用小計算器也不會惹人嘲笑。換言之,數學教育中除了必須保留筆算之外,還必須釐清筆算的目的和意義,同時,適當地引入小計算器。
 

總之,小孩學筆算,是要學那個算的方法,以及何以可以那麼算的理由,而不是為了要算出一個數值來。

 


三、如何將以上的「考慮」付諸實行?


本課其實是一個典型的demo,展示了如何把機械的計算交給計算器,並在筆算中留下思考的空間,正所謂「讓它去算,讓我來想」也。我們設計了三個問題:
 

1. 如何用小計算器求餘數?小計算器所顯示的答案,總是帶著小數的商,而無餘數;解決了餘數問題,也就可以用小計算器把假分數化為帶分數。
2. 當被除數的位數過大,超過輸入的限制,怎麼利用小計算器做除法?
3. 怎麼知道用長除法(又稱直式除法)一步步減到最後所剩下的,就是真正的餘數?


前2項問題很簡單明瞭,也很容易可以看出,它們緊扣著直式除法的原理;如果不明白直式除法的原理,也就無法解決這兩個問題。第3個問題有一點複雜,單是要懂得問題的本身,以及它到底在問什麼,就得花一點力氣。正是在這兒,我們認為是數學教育真正應該花力氣的地方。

 


四、數學教育的核心:教小孩懷疑


用小計算器求餘數的方法,是直指餘數的基本定義:餘數=被除數-(能被整除的部份)=被除數-除數×整數商;其中「整數商」可以取小計算器所顯示的商的整數部份,代入上式,就得到餘數了。


但一個「想想」有素的小孩,會自然有一個問題:這樣算出的餘數,會和傳統直式中一層層減下來的「所謂餘數」一樣嗎?

 

 


這是一個合理的問題,因為從實際情境例如蘋果裝箱來想,總數=被除數,每箱可裝的數量=除數;那麼,當然地,商=最多可裝箱數,所以,餘下裝不到一箱的數量,也就是餘數,自然就是:餘數=總數-已裝箱=被除數-除數×整數商,這正是餘數的原始定義。所以,用小計算器這樣算出來的,才是「真正」的餘數;相形之下,長除法一層層減下來的,就值得懷疑!

 

主要的疑義,當然就在:直式中一層層減下來,和用小計算器只減一次,這兩種「減」的效果,為什麼非得相同?依著這條思路,理所當然地,就要回頭去檢查直式除法那個「巧妙」的格式之中,到底隱藏了什麼玄機。最簡單的檢查,就是再用對照法:拿「除數×整數商」的直式乘法中層層相加的過程,和直式除法中層層相減的過程,做一詳細對比,最後就會發現,直式除法中層層減去的,正是「除數×整數商」!


其實,以上的這個檢查,是所有有關直式的教學,都欠小孩的一個解釋;即使是在數學想想裡,之前我們也只解釋了直式除法為什麼可以得出「真正的商」,至於餘數,則是在這一課裡才做了交待。值得注意的是,這個遲來的交待,和「引入小計算器」直接相關;我們把它安排在這兒,也是因為要用小計算器求餘數,必須一而再地回顧餘數的原始意義——而只有在餘數原始意義深入人心之後,才有資格懷疑直式除法得出的餘數的身份!


以上,我們同時展示了數學教育中最核心的任務:教小孩懷疑;俗語說:做人要在可疑處不疑,做學問要在無疑處感覺可疑,此之謂也。

 

 

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