來看中年級數學想想這一課~尋找北方

June 6, 2019

 

 

這一課主要的提問是:如何透過電話將自己的北方傳給另一個人?因此,這一刻不只是教用量角器而已,還包含著「與自然科統整」、讓學生練習掌握「可見」與「不可見」的「形象」與「力量」的關係,以及帶領孩子領略「綜觀全局與局部推演」的不同。

 

以下摘自數學想想四上第一冊親子手冊內容。

 

 

一、與自然科的統整

 

在我們看來,只教如何使用量角器,是一件相當「反智」的事情。這怎麼說呢?

讓小孩學會某個操作(例如量角度),卻不讓他看到這個操作的「意義」(例如為何要量角度),以及後續的發展(例如角度的加減),這就意謂著我們正把他當成一個「無需使用大腦」的工匠來訓練。這樣說,絕無輕視工匠的意思,稱職的工匠都是要好好使用頭腦的;因為,他必須明白手上各項操作的意義,以及與其它工作的關係。

 

總的來說,我們就是需要一個有意義的「情境」,讓量角度這件事情在這情境中自然發生,並適當地融入這個情境之中;只有這樣,才能改正一般教材中只教量角度的毛病,並啟發有志於教學的家長或老師的想像力。

 

「尋找北方」這個題材;蘊涵著測量角度,以及角度加減運算的必要 ,自然地和自然科統整;只不過在一般自然科有關「方位」或「磁鐵」的教學裡,都還沒有這一課所提供的豐富的內容。

 

 

二、「可見的形象」與「不可見的力量」

 

所謂豐富的內容,一言以蔽之,就是「可見」與「不可見」的對比,以及「形象」與「力量」的對比。

 

自然界中不可見的力量的例子,最重要的,大概就屬重力、電力、與磁力這三者了。然而,前二者並不依附於某種「可見的形象」;磁力雖然也是看不見的,但因為磁力必須透過磁鐵,或電磁鐵來展現,而展現磁力時,又和磁鐵的「可見的形象」有著若即若離的關係。

 

像一顆扣子似的圓盤狀的磁鐵,也能指出北方嗎?這實在啟人疑竇,雖然當它黏在冰箱上的時候,絕沒有人懷疑它的磁 。同樣的,那種長條狀為了在白板上壓住紙張的磁鐵,也無法指出北方,那麼,這些磁鐵的「不可見的力量」走去哪裡了呢?

 

這些問題,實在是很好的可以「想想」的材料;不過,如果像一般教材中把磁鐵的神奇只限定在「吸鐵」,而疏於強調它的「指北」,這些很可以「想想」的問題就無由發生了。人們可以把一塊磁鐵製成任何形狀,例如球形,它仍然是可以「吸鐵」的,但當它本身的「形象」就已經「沒有了方向」(球體是各方對稱的),那麼它要如何指北呢?

 

思考並探索這些問題,是啟迪心智的大好機會;心智能力的一項指標,就是要看在多大程度上,可以掌握「可見」與「不可見」的「形象」與「力量」的關係。

 

 

三、「縱觀全局」和「局部推演」

 

把平行線定義為「永不相交」的兩條直線,是一個「膽大妄為」的舉措,因為,「生也有涯,知也無涯」,對於「永不」這種事情,生命有限(mortal)的人類,最好是少做妄言。但「永不相交」所說的,還不止是時間,而是涉及無限遠的空間中的事情:這兩條線無限延伸之後,即使伸到無限遠處,進入無何有之鄉,也都不能相交!

 

 要做這種判斷,判斷是否永不相交,需要一種「縱觀全局」的能力;必須假想我們能「看到」無限遠處,才能確定在那兒是否發生相交的事情。

 

其實,即使不需要「看到無限遠」,而僅僅是比較A處和B處的兩個箭頭是否同向,也必須同時看到A和B兩點;例如分別座落在淡水河岸和鼻頭角的兩個風向標,我們怎麼知道它們是否指著同樣的方向?一般的做法,就是分別把它們和北方相比較,看看和北方差了幾度角,然而,兩地的北方,又怎麼確知是一致的呢?

 

所以,即使所謂的「全局」不過是僅僅涵蓋淡水河到鼻頭角的範圍,但要把這麼個全局盡收眼底而加以「縱觀」,也不是件容易的事情! 至於「若A和B處的箭頭平行,則二者同向」這種歐基里得式(Euclidian)的斷語,就不止是要縱觀涵蓋A和B的全局,甚至必須縱觀到無限遠的全局去了(因為涉及平行概念)!

 

想通了這一點,我們就可以了解,相對於歐基里得式的「縱觀全局」這種從天上往下看的觀點,近代的幾何學家為什麼寧可腳踏在地上做「局部推演」。所謂局部的推演,意謂著在A處的人,雖然可以遙遙看見B處(假設之間沒有障礙),但無法跳到空中同時又看B又看A;這時候,他們就採取一種非常「務實」的做法,只要檢查A和B處的箭頭是否分別與AB連線夾相同的角;所謂AB的連線,其實就是由A看B或由B看A的那條視線,而前述的夾角,也只要由A和B兩處的人分別測量就可以了(參見本課p.73)。

 

 

 

 

唯一需要的,是兩處的人之間的一種訊息的聯繫,而這是只要撥一通手機就可以完成的。一旦訊息傳遞完成,就等於是把A處箭頭所指的方向,傳遞到了B處;那麼用同樣的手法依次傳遞,不就可以把一個「方向」傳到無論何處去了嗎?每一步的推演都是「局部」的,但許多個局部連接起來,終於可以「推演」到無窮!

 

從這種「局部推演」的觀點來研究幾何,研究的對象就可以不限於歐氏空間,而可以包括例如球面在內的各種曲面,乃至於更高維度的「微分流形(differential manifold)」或「拓樸流形(topological manifold)」,這樣就開創了「非歐幾何(non–Euclidian geometry)」的新領域。

 

「非歐幾何」的一個「非歐現象」(「非歐」是指與歐氐幾何不同),就是用局部推演的手法,把一個箭頭沿著一條折線平行移 出去再移回來(或沿兩條不同折線移至同一點),結果確可能不與原箭頭重合(參見本課p.77)。這件驚人的事實,實在發人深省;深省之一是,從可以「縱觀全局」的上帝眼中看來的這個世界,和我們這種只能「局部推演」的地表生物的理解,可以有多大的不同!

 

 

 

 

 

 

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