有關教學的一些想法:思考&計算

March 28, 2018

 

 一、思考&計算

 

1. 計算的核心精神,就是要排除思考

 

任何一種計算的步驟、格式、意義等等, 當然都是經過一代一代慎密的「思考」,去蕪存菁,截長補短,逐漸發展出來的;然後就把它當做一種技藝傳下去,希望後人遇到類似問題的時候可以依法炮製,再也不必從頭想起,更不必經歷前人的苦惱,也就是,再也不必慎密思考了。換言之, 計算,做為一種依序進行的單純操作,原本的目的就是在「節省」腦力。

 

有很長的一段時間,社會需要各種「算手」(據說克卜勒在天文台常常要動用一兩千人去計算,才能得出「等時間掃過等面積」這種星行定律);而訓練「算手」的時候,絕對是技術導向的:這些技術操作員,通常不會知道,也不需要知道他們算的是什麼,以及為什麼那麼算。

 

然後時代就進入20世紀,就像工業革命讓工匠都失業一樣,在資訊革命的浪潮裡,機器取代人工,算手這一行當然也就被淘汰了;而計算機比起它所取代的算手,當然是更不做任何思考的。

 

2. 小孩為什麼要學計算?

 

這樣看來,現代人根本就不需要學計算,事實上,現在已經沒有人用筆做任何數字計算了。所以,從數學課裡把計算刪除,應該是完全合理的,事實上美國在七零年代確實實行過一陣子不計算的政策,那時候,從小學到大學,所有的學生身上都掛著一個計算器(約有一本字典那麼大,更小型的機器還沒有問世),就好像我們小時候上學都要帶著鉛筆盒或算盤一樣。

 

但人們很快就發現,就教育而言,這並不是一個好辦法,因為小孩一旦不做計算,很多數學的思考就無法進行;理論上,只要知道乘法是做什麼的,應該就可以用小計算機做應用問題,但實際上,小孩如果不花一定的時間「和乘法相處」,他就沒辦法知道是哪個數該乘哪個數—至於解題時必要的事先估算(這是反駁錯誤猜想不可或缺的程序)或式子的推演等等能力,更必須建立在「計算的道理」之上。

 

這就是事情吊詭之處:小孩必學計算,但目的並不在計算,而是在掌握計算的道理,並且「和計算好好相處」:一旦和計算處得好了,哪個數和哪個數該用哪種算法去算就變得很自然,實際的計算倒是真的可以交給小計算機。

 

 

二、和計算相處之道

 

1. 絕非相處之道

 

先來做反面列舉:反覆演練而不去想其中的道理,這一定會把計算給得罪了,因為除了作業和考試之外,你再也不會去計算。訓練成算得又快又精確,這會把自己給得罪了,因為這並不容易,也沒有什麼樂趣,而人的本性是不會去做沒有理由的事。

 

以為練習計算就是學數學,這會把計算和自己都得罪了,還順帶得罪了數學;這是為什麼大多數孩子都感到數學很困難,而又找不到出路的緣故。

 

2. 和跟人相處一樣

 

和計算相處,就和跟人相處一樣,首重了解,次重欣賞,再來就是相互溝通。

 

學計算的時候,首先就是要了解為什麼那樣算,還要拿另一種算法來對比,看看當初前人選擇這種算法有什麼好理由,換言之,應該適度地回顧一下這算法形成的過程(「適度」並不是意謂著去研究數學史)。

 

其次,小孩要能欣賞這個算法的精采之處;演算的時候,心裡要感到得意,想說:好加在,如果不知道可以這樣算那就慘了,算得半死也未必能算出來;而且,用了這個算法,竟然就解決了這樣那樣的問題,簡直是「神機妙算」極了。

 

最後一點比較難,就是要反覆思量,說這樣算真的就是我要的嗎?或者我心中另有丘壑是這個算法根本無法觸及的?這是深層的對計算的批判思考,我們可以把它看做是在自己的本心和計算的功能之間,做一些相互的溝通

 

3. 好的相處讓人自在

 

除了自己會覺得自在之外,旁觀的人也能感覺到心安,當一個小孩好好地「做數學」的時候;他的面容應該安祥喜樂,不疾不徐,不慌不忙,不怕算錯了再改一改,也不擔心要在一定的時間裡算完。最重要的是,他是一面算,一面想,並用心品嚐這「算的味道」。

 

 

 

 

 

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